Prime Numbers and Crystals
© Olena Shmahalo/Quanta Magazine
Spesso conosciuti come "gli elementi costitutivi della matematica", i numeri primi hanno affascinato i matematici per secoli a causa della loro natura altamente imprevedibile e apparentemente casuale. Un gruppo di ricercatori alla Princeton University hanno scoperto di recente uno strano rapporto con i caotici numeri primi. Le loro nuove tecniche di modellazione hanno rivelato una sorprendente somiglianza tra i numeri primi e alcuni materiali cristallini naturali, una somiglianza che può avere implicazioni significative per la fisica e la scienza dei materiali.

Cosa sono i numeri primi?

I numeri primi sono numeri interi che possono essere divisi solo da se stessi o dal numero 1, e appaiono lungo la linea del numero in modo altamente erratico.

Cominciano come 2, 3, 5, 7, 11 e continuano ad apparire in modo intermittente fino all'infinito. Tuttavia, più ci si allontana lungo la linea dei numeri, più casuale appare la distribuzione dei numeri primi. La mancanza di qualsiasi schema ovvio era ben riassunto dal matematico britannico R.C. Vaughan: "E' evidente che i numeri primi sono distribuiti in modo casuale ma, purtroppo, non sappiamo cosa significhi il termine 'casuale' ".

Questo disordine non è privo di utilità. Alcuni dei più importanti tipi di crittografia moderna si basano sull'estrema imprevedibilità di numeri primi molto grandi. Ad esempio, l'algoritmo di crittografia RSA, ampiamente utilizzato, si basa sul fatto che è facile prendere due numeri primi molto grandi e moltiplicarli, ma è estremamente difficile prendere un numero molto grande e capire quali numeri primi sono stati moltiplicati insieme per fare quel grande numero (le specifiche di come funziona nel contesto della crittografia RSA sono spiegate qui).

Tuttavia, i numeri primi sono ancora responsabili di una serie di problemi irrisolti in matematica, come ad esempio la famigerata Ipotesi di Riemann - e continuano ad essere uno dei più grossi problemi della matematica fin da quando sono stati scoperti dai greci.

Un'intuizione produttiva

Chimici e fisici studiano tipicamente la struttura di un materiale sparando raggi X su un campione e osservando come i raggi si diffondono dagli atomi al suo interno. Questo processo è noto come diffrazione dei raggi X, dove materiali diversi producono modelli diversi a seconda della disposizione simmetrica dei loro atomi.
X-ray diffraction
© Theoretical Chemistry Group
Un liquido, i cui atomi sono confusi e in movimento, spargerà i raggi X in tutto il luogo e non riuscirà a creare un modello, mentre il reticolo rigido di atomi di un cristallo, come nel sale o nel diamante, li diffratti in modo più ordinato a causa della loro struttura interna ripetitiva. Inoltre, i materiali rari noti come quasicristalli creano modelli di diffrazione simili senza avere una struttura atomica ripetitiva. Sia nei cristalli che nei cristalli che nei quasicristalli, i raggi X formano tipicamente un modello di punti luminosi periodici noti come "picchi di Bragg", poiché i raggi interferiscono costruttivamente tra loro a intervalli fissi.

L'anno scorso, il chimico teorico e professore di Princeton Salvatore Torquato aveva un'intuizione: che cosa succederebbe se i numeri primi fossero modellati come particelle simili agli atomi? Creerebbero anche loro un modello?

Insieme al suo allievo Ge Zhang e al teorico dei numeri Matthew de-Courcy-Ireland, Torquato ha rappresentato computazionalmente i numeri primi come una stringa unidimensionale di atomi utilizzando luce di diffrazione. I risultati, pubblicati sul Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment la scorsa settimana, sono stati incredibili: non solo hanno creato un modello di interferenza di tipo quasicristallino, ma era un tipo di modello frattale che non è mai stato visto prima. Torquato ha detto alQuanta Magazine che l'implicazione è che i numeri primi "sono una categoria di strutture completamente nuova" se considerati come un sistema fisico.

Curiosamente, questo modello frattale unico appare solo su tratti sufficientemente lunghi della linea numerica - ma su tratti più brevi, il modello non riesce ad emergere. Conosciuta come "iperuniformità", questa è una proprietà rara che solo pochi materiali e sistemi in natura dimostrano, come la disposizione delle cellule coniche che rilevano il colore negli occhi degli uccelli, alcune emulsioni e i quasi-cristalli, la struttura su larga scala dell'universo e, come è risultato, i numeri primi.

Anche se le scoperte del team non sono innovative per la teoria dei numeri (la maggior parte degli aspetti matematici sono stati osservati in altre forme), esse possono rivelarsi utili in una nuova area di ricerca conosciuta come "ordine aperiodico" - lo studio di modelli non ripetitivi.
X-ray diffraction from a single sodium crystal.
© e-Radio.USX-ray diffraction from a single sodium crystal.
Gran parte dell'eccitazione che circonda la carta deriva dalla sua intersezione unica tra il regno fisico e quello matematico più astratto. Henry Cohn, uno dei principali ricercatori di Microsoft Research che non è stato coinvolto nello studio, ha riferito a Princeton che "è una nuova e meravigliosa prospettiva quella che arriva da queste informazioni, e apre nuove connessioni con la scienza dei materiali e la teoria della dispersione".

Inoltre, il documento sostiene di aver prodotto un algoritmo che "permette di prevedere i numeri primi con grande precisione". Anche se l'utilità di un tale strumento non è ancora nota, esso segna un altro passo avanti verso la soluzione definitiva dell'enigma dei numeri primi.